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Die Schönheit der Bounded Lücken

2013-05-22 7
   
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résuméYitang Zhang, Dozent für Mathematik an der University of New Hampshire. Letzte Woche Yitang "Tom" Zhang, ein beliebtes Mathematik - Professor an der Universität von New Hampshire, verblüffte die Welt der reinen Mathematik , als er verkündete , d
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Die Schönheit der Bounded Lücken

Yitang Zhang, Dozent für Mathematik an der University of New Hampshire.

Letzte Woche Yitang "Tom" Zhang, ein beliebtes Mathematik - Professor an der Universität von New Hampshire, verblüffte die Welt der reinen Mathematik , als er verkündete , dass er die "beschränkte Lücken" Vermutung über die Verteilung der Primzahlen-ein entscheidender Meilenstein erwiesen hatte der Weg zum noch schwer fassbar Primzahlzwillinge Vermutung, und ein großer Erfolg für sich.

Das Klischee, unzeitgemäß obwohl es ist, ist, dass neue mathematische Entdeckungen aus den Köpfen der taufrischen jungen Genies hervorgehen. Aber Zhang ist über 50. Was mehr ist, hat er kein Papier veröffentlicht seit 2001 Einige der bekanntesten Zahlentheoretiker der Welt haben seit Jahrzehnten auf dem begrenzten Lücken Problem wurde gehämmert, so die plötzliche Auflösung des Problems durch eine scheinbar inaktiv Mathematiker weit von der Aktion in Harvard, Princeton und Stanford kam als gewaltige Überraschung.

Aber die Tatsache , dass die Vermutung wahr ist , war überhaupt keine Überraschung. Mathematiker haben einen guten Ruf No-Bullshit harte Fälle zu sein, der eine Sache nicht glauben, bis es gesperrt und unter Beweis gestellt. Das ist nicht ganz richtig. Alle von uns angenommen, dass die Vermutung beschränkte Lücken vor Zhang große Enthüllung, und wir alle glauben, dass die Primzahlzwillinge Vermutung, obwohl es für nicht erwiesen. Warum?

Beginnen wir mit dem, was die Mutmaßungen sagen. Die Primzahlen sind diese Zahlen größer als 1 ist, die nicht ein Vielfaches von einer beliebigen Anzahl kleiner ist als sie selbst sind, und größer als 1 ist; so ist 7 ein gutes, aber 9 nicht, weil es von 3. Die ersten Primzahlen teilbar ist, sind: 2, 3, 5, 7, 11, 13 ...

Jede positive Zahl kann nur auf eine Weise als Produkt von Primzahlen ausgedrückt werden. Zum Beispiel ist 60 von zwei 2s aus, eine 3 und eine 5. (Dies ist , warum wir eine Primzahl ist nicht 1 nehmen, obwohl einige Mathematiker so in der Vergangenheit getan haben , es ist die Einzigartigkeit bricht, denn wenn 1 zählt als prime, 60 geschrieben werden als 2 x 2 x 3 x 5 und 2 x 1 x 2 x 3 x 5 und 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 5 ...)

Die Primzahlen sind die Atome der Zahlentheorie, die grundlegenden unteilbare Einheiten, aus denen alle Zahlen vorgenommen werden. Als solche haben sie Gegenstand intensiver Untersuchung gewesen, seitdem begann Zahlentheorie. Einer der ersten Sätze in der Zahlentheorie ist die von Euclid, die uns sagt, dass die Primzahlen in Zahl unendlich sind; wir werden ausgehen nie, egal, wie weit die Zahl Linie, die wir unseren Köpfen reichen lassen.

Aber Mathematiker sind gierig Typen, nicht geneigt, mit der bloßen Behauptung der Unendlichkeit zufrieden zu sein. Schließlich ist es unendlich und dann gibt es unendlich. Es gibt unendlich viele Potenzen von 2, aber sie sind sehr selten. Unter den ersten 1000-Nummern gibt es nur 10 Potenzen von 2: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 und 512.

Es gibt unendlich viele gerade Zahlen, auch, aber sie sind viel häufiger: genau 500 aus dem ersten 1.000. In der Tat, es ist ziemlich offensichtlich, dass die Zahlen aus den ersten X, nur um (1/2) X auch sein wird.

Primes, es stellt sich heraus, sind Zwischen häufiger als die Potenzen von 2, aber seltener als gerade Zahlen. Unter den ersten Zahlen X, über X / log (X) sind prime; dies ist der Primzahlsatz , am Ende des 19. Jahrhunderts von Hadamard und de la Vallée Poussin bewiesen. Dies bedeutet insbesondere, dass die Primzahlen bekommen weniger und weniger häufig als die Zahlen größer werden, obwohl der Rückgang sehr langsam; eine Zufallszahl mit 20 Stellen ist nur halb so oft mit 10 Ziffern prime als Zufallszahl zu sein.

Natürlich stellt man sich, dass die häufiger eine bestimmte Art von Zahl, desto kleiner sind die Lücken zwischen den Instanzen dieser Art der Nummer. Wenn Sie an einer geraden Anzahl suchen, müssen Sie sich niemals weiter reisen als 2 Zahlen uns darauf, die nächste Begegnung selbst; in der Tat sind die Lücken zwischen den geraden Zahlen immer genau der Größe 2. Für die Potenzen von 2, es ist eine andere Geschichte. Die Lücken zwischen aufeinanderfolgenden Potenzen von 2 exponentiell wachsen, und es gibt endlich viele Lücken von einer bestimmten Größe; wenn man einmal 16, zum Beispiel, werden Sie nie durch eine Lücke von Größe getrennt 2 15 oder weniger sehen wieder zwei Mächte.

Diese beiden Probleme sind einfach, aber die Frage der Lücken zwischen aufeinander folgenden Primzahlen ist härter. Es ist so schwer, dass auch nach Zhangs Durchbruch, es ist ein Geheimnis in vielerlei Hinsicht bleibt.

Und doch denken wir , dass wir wissen , was zu erwarten ist , dank einer bemerkenswert fruchtbare Sicht-wir denken , der Primzahlen als Zufallszahlen. Der Grund für die Fruchtbarkeit dieser Sicht so bemerkenswert ist, dass die Sicht ist so sehr, sehr falsch. Primes sind nicht zufällig! Nichts über sie willkürlich oder dem Zufall unterworfen. Ganz im Gegenteil-wir sie als unveränderliche Merkmale des Universums nehmen, und schnitzen sie auf die goldene Schallplatten wir in interstellaren Raum schießen den ETs zu beweisen, dass wir keine Dotierstoffe sind.

Wenn Sie wirklich hart zu beginnen darüber nachzudenken , was "random" wirklich bedeutet, zuerst bekommen Sie ein wenig angeekelt, und ein wenig nach , die Sie finden sind Sie der analytischen Philosophie zu tun . Also lassen Sie uns diesen Weg nicht gehen.

Stattdessen nehmen den Weg des Mathematikers. Die Primzahlen sind nicht zufällig, aber es stellt sich heraus , dass in vielerlei Hinsicht sie handeln , als ob sie waren. Zum Beispiel, wenn Sie eine Zufallszahl von 3 teilen, der Rest ist entweder 0, 1 oder 2 ist, und jeder Fall stellt sich gleich häufig. Wenn Sie eine große Primzahl von 3 teilen, kommen der Quotient kann nicht selbst; andernfalls würde der so genannten Prime durch 3 teilbar sein, was es bedeuten würde, gar nicht wirklich ein gutes war. Aber ein alter Satz von Dirichlet sagt uns, dass Rest 1 zeigt sich etwa gleich häufig als Rest 2, ebenso wie der Fall für Zufallszahlen ist. Also so weit wie "Rest modulo 3" geht, Primzahlen, abgesehen von nicht ein Vielfaches von 3 ist, suchen zufällig.

Was ist mit den Lücken zwischen aufeinander folgenden Primzahlen? Man könnte daran denken, weil Primzahlen bekommen seltener als Zahlen größer werden, dass sie auch immer weiter auseinander zu bekommen. Im Durchschnitt, das ist in der Tat der Fall. Aber was Yitang Zhang ist nur bewiesen, dass es unendlich viele Paare von Primzahlen sind, die höchstens 70.000.000 unterscheiden. Mit anderen Worten, dass die Lücke zwischen einem Haupt- und das nächste von 70.000.000 unendlich oft so begrenzt ist, "begrenzt Lücken" die Vermutung.

Auf den ersten Blick könnte dies ein wunderbares Phänomen zu sein scheinen. Wenn die Primzahlen immer weiter auseinander zu sein neigen, was verursacht, dort zu sein, so viele Paare, die nahe beieinander liegen? Ist es eine Art von vorrangiger Schwerkraft?

Nichts Derartiges. Wenn Sie Zahlen zufällig streuen, ist es sehr wahrscheinlich, dass einige Paare werden, durch Zufall, Land sehr nahe beieinander. (Das linke Bild auf dieser Seite ist ein schönes Beispiel dafür , wie dies in der Ebene arbeitet, die Punkte sind unabhängig voneinander ausgewählt und vollständig zufällig, aber Sie sehen , einige Klumpen und Cluster alle gleich.)

Es ist nicht schwer, das zu berechnen, wenn Primzahlen wie Zufallszahlen verhielt sich, Sie genau das Verhalten sehen würde, dass Zhang demonstriert. Mehr noch: Sie würden erwarten, dass unendlich viele Paare von Primzahlen, um zu sehen, die von nur 2 getrennt sind, wie die Primzahlzwillinge Ansprüche vermuten.

(Die eine Berechnung in diesem Artikel folgt. Wenn Sie nicht an Bord sind, die Augen abzuwenden und den Text wieder zusammenzubringen, wo es heißt "Und viele Primzahlzwillinge ...")

Unter den ersten N-Nummern, etwa N / log N von ihnen Primzahlen sind. Wenn diese zufällig verteilt wurden, würde jede Zahl n eine 1 / log N Chance prime zu sein. Die Chance , dass n und n + 2 beide prime so etwa sein sollte (1 / log N) ^ 2. Also, wie viele Paare von Primzahlen von 2 getrennt sollten wir erwarten, zu sehen? Es gibt etwa N Paare (n, n + 2) im Bereich von Interesse, und jeder hat einen (1 / log N) ^ 2 Chance auf ein Zwilling ist höchste Vollkommenheit zu sein, so dass man erwarten sollte zu finden über N / (log N ) ^ 2 Primzahlzwillinge im Intervall.

Es gibt einige Abweichungen von der reinen Zufälligkeit, deren geringe Auswirkungen Zahlentheoretiker wissen, wie zu handhaben; eine verfeinerte Analyse legt nahe, diese zu berücksichtigen, dass die Anzahl der Primzahlzwillinge sollte in der Tat etwa 32 Prozent größer ist als N / (log N) ^ 2 sein. Diese bessere Annäherung gibt eine Vorhersage , dass die Anzahl der Primzahlzwillinge weniger als eine Billiarde sollte etwa 1,1 Billionen sein, die tatsächliche Zahl ist 1.177.209.242.304 . Das ist eine Menge der Primzahlzwillinge.

Und viele Primzahlzwillinge ist genau das, was Zahlentheoretiker erwarten , egal zu finden , wie groß die Zahlen bekommen, nicht , weil wir denken , es gibt eine tiefe, Wunder Struktur in den Primzahlen versteckt, aber gerade weil wir nicht glauben , so. Wir erwarten, dass die Primzahlen um zufällig wie Dreck geworfen werden. Wenn die Primzahlzwillinge Vermutung falsch waren, dass wäre ein Wunder, zu verlangen , dass einige bisher unbekannte Kraft , um die Primzahlen auseinander schieben sein.

Nicht zu ziehen den Vorhang zu viel zurück, aber viele berühmte Vermutungen in der Zahlentheorie sind so. Die Goldbach-Vermutung, dass jede gerade Zahl ist die Summe zweier Primzahlen ist? Die ABC - Vermutung, für die Shin Mochizuki kontrovers einen Beweis im Herbst letzten Jahres behauptete ? Die Vermutung , dass die Primzahlen beliebig lange arithmetische Progressionen enthalten, deren Auflösung von Ben Grün und Terry Tao im Jahr 2004 half gewinnen Tao eine Fields - Medaille ? Alle sind ungeheuer schwierig, aber sie sind alle genau das, was man geführt wird durch das Beispiel von Zufallszahlen zu glauben.

Es ist eine Sache zu wissen, was zu erwarten ist und sich eine ganz andere zu beweisen Erwartung korrekt ist. Trotz der scheinbaren Einfachheit der beschränkten Lücken Vermutung, erfordert Zhang Beweis einige der tiefsten Sätze der modernen Mathematik, wie Pierre Deligne die Ergebnisse Mittelwerte der zahlentheoretischen Funktionen mit der Geometrie von hochdimensionalen Räumen beziehen. (Mehr klassisch gesinnten analytischen Zahlentheoretiker fragen sich bereits, ob Zhang Beweis modifiziert werden kann, so abstruse Sachen zu vermeiden.)

Aufbauend auf der Arbeit vieler Vorgänger, ist Zhang Lage in einer ziemlich genauen Sinn zu zeigen, dass die Primzahlen in der ersten Weise zufällig sehen wir erwähnt, über die nach der Teilung erhaltenen Reste von vielen verschiedenen ganzen Zahlen. Daraus (nach einem Weg von Goldston, Pintz und Yıldırım angelegt , die letzten Menschen auf erstklassige Lücken Fortschritte zu machen) er , dass die Primzahlen zufällig aussehen in einem ganz anderen Sinn zu zeigen, mit den Größen der zu tun Lücken zwischen ihnen. Zufall ist zufällig!

Zhang Erfolg (zusammen mit der Arbeit von Green und Tao) verweist auf eine Perspektive noch spannender als jedes einzelne Ergebnis zu Primzahlen-die wir könnten am Ende auf dem Weg sein, um eine reichere Theorie der Zufälligkeit zu entwickeln. Wie wunderbar paradox: Was hilft uns die endgültigen Geheimnisse über Primzahlen setzen kann neue mathematische Ideen, die das Konzept der Strukturlosigkeit selbst strukturieren.

(Einige Vorschläge zur weiteren Lektüre für diejenigen mit mehr technischen Geschmack: Zahlentheoretiker Emmanuel Kowalski bietet einen ersten Bericht über Zhang Papier Und hier ist Terry Tao auf. Die Dichotomie zwischen Struktur und Zufälligkeit .)

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